Àlgebra Lineal (2500001) – Curs 2024/25 PDF
Temari
Definició i exemples. Subespais vectorials. Dependència i independència lineal. Sistema de generadors. Espais de dimensió finita. Bases. Rang d'un sistema de vectors. Intersecció i suma de subespais. Suma directa. Fòrmula de Grassmann Resolució de problemes bàsics Resolució de problemes de dependència i independència lineal. Càlcul de bases. Càlcul de components. Problemes d'ntersecció i suma de subespais.
Objectius específics
Els espais vectorials constitueixen el marc general de les aplicacions a l'enginyeria i no només l'espai tridimensional.
Dedicació
6h Grup gran + 5h Grup mitjà + 15h 24m Aprenentatge autònomDefinicions i tipus. Suma de matrius. Producte per escalars. Producte de matrius. Operacions elementals de fila i de columna.Matrius esglaonades. Matrius regulars: càlcul de la inversa pel mètode de Gauss-Jordan Resolució de problemes bàsics Sistemes d'equacions lineals. Sistemes equivalents. Teorema de Rouché-Fröbenius. Mètode de resolució de Gauss-Jordan. Resolució de sistemes d'equacions lineals. Aplicacions
Objectius específics
Les matrius són les eines fonamentals amb les que treballarem i que després utilitzaran en les aplicacions a l'enginyeria. Cal conèixer en detall les seves propietats bàsiques. A partir de les propietats de les matrius i especialment utilitzant les operacions elementals de fila es planteja la resolució dels sistemes de equacions lineals. S'introdueixen algorismes numèrics de resolució.
Dedicació
5h Grup gran + 5h Grup mitjà + 14h Aprenentatge autònomDefinició de determinant. Propietats fonamentals. Determinant d'una matriu triangular. Determinant d'una matriu diagonal per blocs. Càlcul de determinants. Mètode de Gauss. Expressió de la funció determinant. Desenvolupament per una fila i per una columna. Determinant del producte de matrius. Determinants i inversió de matrius. Regla de Cramer.Aplicacions geomètriques. Volum d'un paral·lelogram. Producte vectorial. Producte mixt. Propietats. Exemples de determinants calculats reduïnt la matriu a la forma triangular. Exercicis per determinar si una matriu és inversible, i en cas afirmatiu obtenir la seva inversa. Resolució de sistemes d'equacions lineals utilitzant la Regla de Cramer.
Objectius específics
A partir de la seva definició s'obtenen algunes propietats bàsiques, tot això sense necessitat d'explicitar el desenvolupament del determinant. Es calcula el determinant d'una matriu numèrica aplicant operacions elementals de fila fins reduir-la a la forma triangular Després d'introduir les propietats bàsiques de les permutacions s'explicita el determinant i el seu desenvolupament. Utilitzant les propietats de les formes multilineals alternades, es verifica que el determinant d'un producte de matrius és el producte de determinants. Es defineix la matriu cofactor i s'utilitza en el càlcul de la matriu inversa. Practicar adequadament les operacions elementals de fila i prendre consciència de la possible programació numèrica del mètode Treballar aquest segon mètode per invertir una matriu, atès que ja coneixen el de transformar-la en la seva forma esglaonada reduïda per files.
Dedicació
4h Grup gran + 4h Grup mitjà + 11h 12m Aprenentatge autònomDefinicions i exemples. Subespais Imatge i Nucli. Monomorfisme, epimorfisme, isomorfisme. Propietats bàsiques. Espai vectorial de les aplicacions lineals. Aplicacions definides entre espais de dimensió finita. Matriu associada. Obtenció de bases del Nucli i de la Imatge. Teorema fonamental de dimensions. Composició d'aplicacions lineals. Inversa d'un isomorfisme. Matriu associada a la composició. Matriu associada al canvi de base en un espai vectorial. Es resolen alguns problemes d'aplicacions lineals sobre espais de dimensió no finita però fonamentalment es treballa amb les definides en espais de dimensió finita. A partir de la matriu associada i utilitzant la teoria d'espais vectorials i de resolució de sistemes lineals, s'obtenen bases del Nucli i de la Imatge. Resolució de problemes de composició d'aplicacions lineals. Càlcul de la matriu associada a l'aplicació inversa d'un isomorfisme.
Objectius específics
Introduir els conceptes fonamentals i establir la seva vinculació amb els continguts de matemàtiques que han treballat en altres assignatures. Familiaritzar-se amb vectors diferents dels que han fet servir fins ara en aplicacions físiques. Vincular la injectivitat i exhaustivitat d'una aplicació lineal amb el seu nucli i amb la seva imatge. Justificar que les aplicacions lineals inversibles són les bijectives. Vincular la composició d'aplicacions lineals amb el producte de matrius.. Obtenció de bases i estudi de les seves propietats. Vincular els nous conceptes amb l'àlgebra bàsica que ja coneixen: espais vectorials, propietats de les matrius, resolució de sistemes, rang d'un sistema de vectors i equacions implícites d'un subespai. Relacionar els continguts d'aquest tema amb les propietats que ja coneixen de les matrius. . Insistir en aplicacions geomètriques.
Dedicació
3h Grup gran + 4h Grup mitjà + 9h 48m Aprenentatge autònomFormes bilineals. Exemples i propietats bàsiques. Matriu associada a una forma bilineal. Canvi de base. Forma bilineal simètrica. Forma quadràtica. Formes definides. Forma canònica i forma normal d'una forma bilineal real simètrica. Es resolen problemes de reducció d'una forma bilineal simètrica a la seva forma canònica i normal. Es determina el canvi de base. Definició de producte escalar . Exemples. Propietats bàsiques. Norma. Subespai ortogonal. Bases ortogonals i ortonormals. Projecció ortogonal. Teorema de Pitàgores i llei del paral·lelogram. Coeficient de Fourier. Desigualtats de Schwarz, triangular i de Bessel. Mètode d'ortogonalizació de Gram-Schmidt. Interpretacions geomètriques. Resolució de problemes de producte escalar. Propietats de la norma. Projecció ortogonal sobre un subespai. Interpretacions geomètriques.
Objectius específics
Desenvolupar les propietats de les formes bilineals, especialment de les simètriques, preparant la seva posterior aplicació a la classificació d'extrems en l'assignatura de Càlcul. Treballar les propietats de les formes bilineals simètriques aplicant el mètode de les operacions elementals de fila que ja coneixen. Presentar les definicions i propietats generals i contínuament interpretar-les en l'espai euclidià real de tres dimensions amb el qual l'estudiant està familiaritzat. Es pretén aconseguir un coneixement abstracte d'espai euclidià. Es treballen especialment les aplicacions geomètriques. Adquirir destresa en l'ús de propietats abstractes. Aplicar les propietats generals a l'espai euclidià real tridimensional.
Dedicació
4h Grup gran + 4h Grup mitjà + 11h 12m Aprenentatge autònomValors i vectors propis. Polinomi característic. Teorema general de diagonalització. Problemes de diagonalització. Teorema elemental de diagonalització. Exemples.Teorema bàsic de triangularització. Exemples. Teorema de Cayley-Hamilton. Exemples i aplicacions. Problemes de triangularització.
Objectius específics
Poder diagonalitzar una matriu facilita l'obtenció de les seves propietats bàsiques i la seva manipulació. Això serà fonamental en les aplicacions.
Dedicació
4h Grup gran + 4h Grup mitjà + 11h 12m Aprenentatge autònomDefinicions i propietats bàsiques. Operador transposat. Matrius associades. Operadors normals. Propietats. Teorema espectral. Problemes d'operadors normals i propietats de matrius normals. Operadors normals reals. Operadors simètrics i ortogonals. Teorema espectral per a operadors simètrics. Interpretacions geomètriques. Problemes d'operadors normals reals.
Objectius específics
La major part de matrius que apareixen a l'enginyeria són matrius simètriques. Cal tenir clar que aquestes diagonalitzen ortogonalment. També són fonamentals les aplicacions geomètriques de les matrius ortogonals.
Dedicació
4h Grup gran + 4h Grup mitjà + 11h 12m Aprenentatge autònom